Parabole de Matiiassevitch - Corrigé

Énoncé

On considère la parabole \(\mathscr{P}\) d'équation \(y=x^2\) .

Étant donnés deux entiers \(a\) et \(b\) supérieurs ou égaux à \(2\) , on trace le segment joignant les points \(\text A\) et \(\text B\) de \(\mathscr{P}\) d'abscisses respectives \(a\) et \(-b\) .

1. Quelles sont les coordonnées des   points \(\text A\) et \(\text B\) ?

2. À l'aide de la représentation de la parabole ci-dessous, construire tous les segments \([\text A\text B]\) pour \(a\) et \(b\) compris entre \(2\) et \(7\) .

3. On s'intéresse aux points d'intersection entre l'axe des ordonnées et les segments \([\text A\text B]\) .
    a. Quelle conjecture peut-on faire concernant les ordonnées de ces points ?
    b. Déterminer l'ordonnée du point d'intersection entre l'axe des ordonnées et l'un des segments \([\text A\text B]\) .
    c. Valider la conjecture précédente.
    d. Comment utiliser le graphique obtenu comme table de multiplication ?

Solution

1. On a \(\text A(a;a^2)\) et \(\text B(-b;b^2)\) .

2. Voir ci-dessous.

3. a. Il semble que les points d'intersection entre l'axe des ordonnées et les segments \([\text A\text B]\) ont pour ordonnées des nombres composés (c'est-à-dire non premiers).

b. Il suffit de déterminer l'ordonnée à l'origine de la droite \((\text A\text B)\) .
Son coefficient directeur est  \(\begin{align*}m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{b^2-a^2}{-b-a}=\frac{(b-a)(b+a)}{-(b+a)}=a-b\end{align*}\)  
et son ordonnée à l'origine est donc  \(\begin{align*}p=y_A-mx_A=a^2-(a-b)a=ab\end{align*}\) .
L'ordonnée du point d'intersection entre l'axe des ordonnées et le segment \([\text A\text B]\) est donc \(ab\) .

c. D'après la question 3.b, l'ordonnée d'un point d'intersection entre l'axe des ordonnées et un segment \([\text A\text B]\) s'écrit  \(a\) \(b\) avec \(a\) , \(b \geqslant 2\) . Ainsi, cette ordonnée possède deux diviseurs supérieurs ou égaux à \(2\) , donc n'est pas un nombre premier.
La conjecture faite à la question 3.a est donc validée.

d. On peut remarquer que le segment qui joint les points de \(\mathscr{P}\) d'abscisses \(a\) et \(-b\) coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée     \(a\) \(b\) .